Question

△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O是BC的中點(diǎn)，小敏拿著含45°角的透明三角板，使45°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)O，三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖（a），當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)，求證：△BOE∽△CFO；
（2）操作：將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖（b）情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于E、F．①探索：△BOE與△CFO還相似嗎？（只需寫(xiě)結(jié)論）：連接EF，△BOE與△OFE是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．②設(shè)EF=x，△EOF的面積是S，寫(xiě)出S與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）找出△BOE與△CFO的對(duì)應(yīng)角，其中∠BOE+∠COF=135°，∠COF+∠CFO=135°，得出∠BOE=∠CFO，從而解決問(wèn)題；
（2）①小題同前可證，②小題可通過(guò)對(duì)應(yīng)邊成比例證明．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BOE+∠BEO=180°，
∴∠BOE+∠BEO=135°，
∵∠EOF=45°，
又∵∠BOE+∠EOF+∠COF=180°，
∴∠BOE+∠COF=135°，
∴∠BEO=∠COF，
又∵∠B=∠C，
∴△BOE∽△CFO（兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）．

（2）解：①△BOE∽△CFO；②△BOE與△OFE相似．
證明：同（1），可證△BOE∽△CFO，
得 CO：BE=OF：OE，
而CO=BO，
因此 OB：BE=OF：OE．
又因?yàn)椤螮BO=∠EOF，
所以△BOE∽△OFE（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似）．
②△ABC為等腰直角三角形，且AB=AC=2，O為BC中點(diǎn)，
∴BO=

2

．
設(shè)EO=y，
∵△BOE∽△OFE，
∴

EO

BE

=

FO

BO

=

FE

EO

，
即

y

BE

=

FO

2

=

x

y

，
解得：FO=

2 x

y

，
則S_△EOF=

1

2

•sin45°•EO•FO=

2

4

•EO•FO．
∵EO•FO=

2

x．
∴S=

1

2

x．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定．它以每位學(xué)生都有的三角板在圖形上的運(yùn)動(dòng)為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動(dòng)，動(dòng)中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究的能力．