Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P（4，2）是⊙O外一點(diǎn)，連接AP，直線PB與⊙O相切于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C．

（1）證明PA是⊙O的切線；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）求直線AB的解析式．

Answer 1

解；（1）證明：依題意可知，A（0，2），
∵A（0，2），P（4，2），∴AP∥x軸。
∴∠OAP=90⁰，且點(diǎn)A在⊙O上�！郟A是⊙O的切線。
（2）連接OP，OB，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，BD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵PB切⊙O于點(diǎn)B，∴∠OBP=90⁰，即∠OBP=∠PEC。
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC，
∴△OBC≌△PEC（AAS）�！郞C=PC。
設(shè)OC=PC=x，則有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x，
在Rt△PCE中，∵PC²=CE²+PE²，即x²=(4－x)²+2²，解得x=。
∴BC=CE=4－=。
∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=。
∴。
由點(diǎn)B在第四象限可知B（，）。
（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
由A（0，2），B（，），可得，解得 。
∴直線AB的解析式為y=－2x+2。

試題分析：（1） 點(diǎn)A在圓上，要證PA是圓的切線，只要證PA⊥OA（∠OAP=90⁰）即可，由A、P兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等可得AP∥x軸，所以有∠OAP+∠AOC=180⁰得∠OAP=90⁰。
（2） 要求點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的意義，就是要求出點(diǎn)B到x軸、y軸的距離，自然想到構(gòu)造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切線，得Rt△OAP≌△OBP，從而得△OPC為等腰三角形，在Rt△PCE中, PE="OA=2," PC+CE=OE=4,列出關(guān)于CE的方程可求出CE、OC的長(zhǎng)，△OBC的三邊的長(zhǎng)知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)。
（3）已知點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式。