Question

如圖，直角梯形BCDF中，∠BCD=90°，BC∥FD，CA⊥BD于A，點(diǎn)E在FD上，且BF=BE，∠BEA=∠ACD，下列結(jié)論：
①∠ACD=∠CBD；②∠FBC+∠CBE=180°；③DE+DF=2BC；④BC=BE．
其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)∠ACD+∠BCA=90°和∠CBD+∠BCA=90°即可推出∠ACD=∠CBD；根據(jù)∠FBC+∠F=180°和∠F=∠BEF=∠CBE推出即可；過(guò)B作BH⊥DF于H，求出BC=DH，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出FH=HE，即可得出DE+DF=2BC；證△BAC∽△BCD和△BEA∽△BDE，得出比例式，即可得出BC²=BE²=BA×BD，即可得出BC=BE．
解答：解：∵∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠BCA=90°，
∵CA⊥BD，
∴∠BAC=90°，
∴∠CBD+∠BCA=90°，
∴∠ACD=∠CBD，
∴①正確；
∵BC∥FD，
∴∠CBE=∠BEF，∠F+∠FBC=180°，
∵BF=BE，
∴∠F=∠BEF，
∴∠FBC+∠CBE=180°，
∴②正確；
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF于點(diǎn)H，
∵BF=BE，
∴EH=FH，
∵直角梯形BCDF中，∠BCD=90°，BC∥FD，
∴四邊形BCDH是矩形，
∴BC=DH=EH+DE，
∴DE+DF=DH+FH+DE=DH+DH=BC+BC=2BC，
∴③正確；
∵∠BCD=90°，CA⊥BD，
∴∠CAB=∠CAD=∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，∠DCA+∠CDB=90°，
∴∠DCA=∠CBD，
∵BC∥DF，
∴∠CBD=∠BDE，
∵∠AEB=∠DCA，
∴∠BDE=∠BEA，
∵∠EBA=∠DBA，
∴△BEA∽△BDE，
∴=，
∴BE²BA×BD，
∵∠CBA=∠CBD，∠CAB=∠DCB，
∴△BAC∽△BCD，
∴=，
∴BC²=BA×BD，
∴BE²=BC²，
∴BE=BC，∴④正確；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．