(2009•江西)如圖,拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸相交于點C,頂點為D.
(1)直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸;
(2)連接BC,與拋物線的對稱軸交于點E,點P為線段BC上的一個動點,過點P作PF∥DE交拋物線于點F,設點P的橫坐標為m;
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長,并求出當m為何值時,四邊形PEDF為平行四邊形?
②設△BCF的面積為S,求S與m的函數(shù)關系式.

【答案】分析:(1)已知了拋物線的解析式,當y=0時可求出A,B兩點的坐標,當x=0時,可求出C點的坐標.根據對稱軸x=-可得出對稱軸的解析式.
(2)PF的長就是當x=m時,拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差.可先根據B,C的坐標求出BC所在直線的解析式,然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中,求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長.
根據直線BC的解析式,可得出E點的坐標,根據拋物線的解析式可求出D點的坐標,然后根據坐標系中兩點的距離公式,可求出DE的長,然后讓PF=DE,即可求出此時m的值.
(3)可將三角形BCF分成兩部分來求:
一部分是三角形PFC,以PF為底邊,以P的橫坐標為高即可得出三角形PFC的面積.
一部分是三角形PFB,以PF為底邊,以P、B兩點的橫坐標差的絕對值為高,即可求出三角形PFB的面積.
然后根據三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積,可求出關于S、m的函數(shù)關系式.
解答:解:(1)A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
拋物線的對稱軸是:直線x=1.

(2)①設直線BC的函數(shù)關系式為:y=kx+b.
把B(3,0),C(0,3)分別代入得:
解得:k=-1,b=3.
所以直線BC的函數(shù)關系式為:y=-x+3.
當x=1時,y=-1+3=2,
∴E(1,2).
當x=m時,y=-m+3,
∴P(m,-m+3).
在y=-x2+2x+3中,當x=1時,y=4.
∴D(1,4)
當x=m時,y=-m2+2m+3,
∴F(m,-m2+2m+3)
∴線段DE=4-2=2,
線段PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m
∵PF∥DE,
∴當PF=ED時,四邊形PEDF為平行四邊形.
由-m2+3m=2,解得:m1=2,m2=1(不合題意,舍去).
因此,當m=2時,四邊形PEDF為平行四邊形.
②設直線PF與x軸交于點M,由B(3,0),O(0,0),可得:OB=OM+MB=3.
∵S=S△BPF+S△CPF
即S=PF•BM+PF•OM=PF•(BM+OM)=PF•OB.
∴S=×3(-m2+3m)=-m2+m(0≤m≤3).
點評:本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用,根據二次函數(shù)得出相關點的坐標和對稱軸的解析式是解題的基礎.
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