Question

如圖，現有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標系中的，處，直角邊在軸上．一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移動．當紙板Ⅰ移動至處時，設與分別交于點，與軸分別交于點．

（1）求直線所對應的函數關系式；

（2）當點是線段（端點除外）上的動點時，試探究：

①點到軸的距離與線段的長是否總相等？請說明理由；

②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及取最大值時點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，知兩點的坐標分別為．設直線所對應的函數關系式為．

有解得

所以，直線所對應的函數關系式為．

（2）①點到軸距離與線段的長總相等．

因為點的坐標為，

所以，直線所對應的函數關系式為．

又因為點在直線上，

所以可設點的坐標為．

過點作軸的垂線，設垂足為點，則有．

因為點在直線上，所以有．

因為紙板為平行移動，故有，即．

又，所以．

法一：故，

從而有．

得，．

所以．

又有．

所以，得，而，

從而總有．

法二：故，可得．

故．

所以．

故點坐標為．

設直線所對應的函數關系式為，

則有解得

所以，直線所對的函數關系式為．

將點的坐標代入，可得．解得．

而，從而總有．

②由①知，點的坐標為，點的坐標為．

．

當時，有最大值，最大值為．

取最大值時點的坐標為．