Question

【題目】已知拋物線與坐標(biāo)軸交于.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線與該拋物線交于點(diǎn) （在的左側(cè)），記拋物線在直線下方的圖象為，在直線下方的圖象為，將圖象沿直線向下翻折得到圖象，圖象和圖象兩部分組成的圖象記為.

①設(shè)圖象的頂點(diǎn)為，當(dāng)落在的邊上時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.

②當(dāng)時(shí),設(shè)是圖象上的動(dòng)點(diǎn).

（i）連結(jié)，過(guò)線段的中點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，當(dāng)是以為直角頂點(diǎn)的直角角形時(shí)，直接寫(xiě)出的值.

（ii）當(dāng)時(shí)，的最小值為，直接寫(xiě)出的最大值及相應(yīng)的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5）或（1．-5）．

【解析】

（1）點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)已知，只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）由四邊形POP′B為菱形可得PO=PB，從而有∠POB=∠PBO．由點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上可得QA=QB，從而有∠QAB=∠QBA．由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，從而可得點(diǎn)Q、P、B共線．由PO=PB可得點(diǎn)P在OB的垂直平分線上，從而可得xP= ，代入拋物線即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（1）∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）在拋物線y=ax2+bx+c上，
∴ ，
解得 ．
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；
（2）∵四邊形POP′B為菱形，
∴PO=PB，
∴∠POB=∠PBO．
∵點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，
∴QA=QB，
∴∠QAB=∠QBA．
由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，
∴當(dāng)Q點(diǎn)在x軸上方時(shí)，點(diǎn)Q、P、B共線．
∵PO=PB，

∴點(diǎn)P在OB的垂直平分線上，
∴xP=，
此時(shí)yP=- ，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）．
∵△QAB～△POB，
∴ ，
∵yP=，AB=4，OB=3，
∴ ，
∴|yQ|=5，
∴yQ=±5，
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-=1，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5）或（1．-5）．