Question

如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連結(jié)FC

（AB＞AE）．

（1）△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；

（2）設(shè)＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【提示】（1）如圖，證明△AFE≌△DGE，證出∠AFE＝∠EFC．

（2）證明∠ECG＝30°，∠BCF＝30°．

【答案】如圖，是相似．

【證明】延長FE，與CD的延長線交于點G．

在Rt△AEF與Rt△DEG中，

∵　E是AD的中點，

∴　AE＝ED．

∵　∠AEF＝∠DEG，

∴　△AFE≌△DGE．

∴　∠AFE＝∠DGE．

∴　E為FG的中點．

又　CE⊥FG，

∴　FC＝GC．

∴　∠CFE＝∠G．

∴　∠AFE＝∠EFC．

又　△AEF與△EFC均為直角三角形，

∴　△AEF∽△EFC．

① 存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝時，△AEF∽△BCF．

證明：當＝時，＝，

∴　∠ECG＝30°．

∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．

∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．

又　△AEF和△BCF均為直角三角形，

∴　△AEF∽△BCF．

② 因為EF不平行于BC，

∴　∠BCF≠∠AFE．

∴　不存在第二種相似情況．