試證:如果a<b<c,則二次方程(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=0的一個根在a,b之間,另一個根在b,c之間.
考點:一元二次方程的解,拋物線與x軸的交點
專題:證明題,數(shù)形結合,方程思想
分析:由于要證明二次方程(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=0的一個根在a,b之間,另一個根在b,c之間,計算證明當x=a、b時方程的左邊(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)一個大于0,一個小于0,當x=b、c時,也是如此.由此即可解決解決問題.
解答:解:當x=a時,(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(a-b)(a-c),
而a<b<c,
∴a-b<0,a-c<0,
∴(a-b)(a-c)>0,
當x=b時,(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(b-c)(b-a),
而a<b<c,
∴b-a>0,b-c<0,
∴(b-c)(b-a)<0,
當x=c時,(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(c-a)(c-b),
而a<b<c,
∴c-a>0,c-b>0,
∴(c-a)(c-b)>0,
∴二次方程(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=0的一個根在a,b之間,另一個根在b,c之間.
點評:此題主要考查了一元二次方程的解和拋物線與x軸交點的坐標的對應關系,也利用了方程的解就是函數(shù)值為0時對應的自變量的取值,同時也利用了數(shù)形結合的思想,此題比較復雜,對于學生的能力要求比較高,平時應該注意訓練.
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