Question

某學(xué)校要在圍墻旁建一個(gè)長(zhǎng)方形的中藥材種植實(shí)習(xí)苗圃，苗圃的一邊靠圍墻（墻的長(zhǎng)度不限），另三邊用木欄圍成，建成的苗圃為如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD．已知木欄總長(zhǎng)為120米，設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米，長(zhǎng)方形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）．當(dāng)x為何值時(shí)，S取得最值（請(qǐng)指出是最大值還是最小值）？并求出這個(gè)最值；
（2）學(xué)校計(jì)劃將苗圃?xún)?nèi)藥材種植區(qū)域設(shè)計(jì)為如圖所示的兩個(gè)相外切的等圓，其圓心分別為O₁和O₂，且O₁到AB、BC、AD的距離與O₂到CD、BC、AD的距離都相等，并要求在苗圃?xún)?nèi)藥材種植區(qū)域外四周至少要留夠0.5米寬的平直路面，以方便同學(xué)們參觀學(xué)習(xí)．當(dāng)（l）中S取得最值時(shí)，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)設(shè)計(jì)是否可行？若可行，求出圓的半徑；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出BC的長(zhǎng)120-2x，由矩形的面積公式得出答案；
（2）設(shè)出圓的半徑和藥材種植區(qū)外四中平面路面的寬，利用題目中的等量關(guān)系列出二元一次方程組，求得半徑和路面寬，當(dāng)路面寬滿(mǎn)足題目要求時(shí)，方案可行，否則不行．

解答：解：（1）∵AB=x，∴BC=120-2x，
∴S=x（120-2x）=-2x²+120x；
當(dāng)x=

120

2×2

=30時(shí)，S有最大值為

0-1202

4×(-2)

=1800；

（2）設(shè)圓的半徑為r米，路面寬為a米，
根據(jù)題意得：

4r+2a=60 2r+2a=30

解得：

r=15 a=0

∵路面寬至少要留夠0.5米寬，
∴這個(gè)設(shè)計(jì)不可行．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，題目中還涉及到了二元一次方程組及方案設(shè)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，是一道難度適中的綜合題．