Question

【題目】如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四個點．
（Ⅰ）求r的取值范圍；
（Ⅱ）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）將拋物線E：y2=x代入圓M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程， 消去y2 ， 整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）
拋物線E：y2=x與圓M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是：
方程（1）有兩個不相等的正根
∴
即 ．
解這個方程組得 ， ．
（II）設四個交點的坐標分別為
、 、 、 ．
則直線AC、BD的方程分別為y﹣ = （x﹣x1），y+ = （x﹣x1），
解得點P的坐標為（ ，0），
則由（I）根據韋達定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2 ，
則
∴
令 ，
則S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．
由三次均值有： 當且僅當7+2t=14﹣4t，即 時取最大值．
經檢驗此時 滿足題意．
故所求的點P的坐標為 ．
【解析】（1）先聯(lián)立拋物線與圓的方程消去y，得到x的二次方程，根據拋物線E：y2=x與圓M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是此方程有兩個不相等的正根，可求出r的范圍．（2）先設出四點A，B，C，D的坐標再由（1）中的x二次方程得到兩根之和、兩根之積，表示出面積并求出其的平方值，最后根據三次均值不等式確定得到最大值時的點P的坐標．