Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC邊向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B，再沿BC邊向點(diǎn)C勻速移動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，則可同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C．
（1）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以原速度按各自的移動(dòng)路線移動(dòng)到某一時(shí)刻同時(shí)停止移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)到BC邊上（Q不與C重合）時(shí)，求作以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程；
（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以原速度按各自的移動(dòng)路線移動(dòng)到某一時(shí)刻同時(shí)停止移動(dòng)，當(dāng)S_△PBQ=

12

5

時(shí)，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先由勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)已知條件若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，則可同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C，得出在相等的時(shí)間之內(nèi)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程的2倍．如果作QH⊥AC，垂足為H，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，Q點(diǎn)移動(dòng)的路程為2x．那么根據(jù)正切函數(shù)的定義可分別求出tan∠QCA、tan∠QPA的值，再由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程．
（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，當(dāng)S_△PBQ=

12

5

時(shí)，點(diǎn)Q的位置可能有兩種情況：①點(diǎn)Q在AB上；②點(diǎn)Q在BC上．針對(duì)每一種情況，均可根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程（設(shè)PA=x），求出的符合題意的解即為所求．

解答：解：在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵P、Q兩點(diǎn)從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，可同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C，
∴

Sp

Sq

=

8

6+10

=

1

2

（1分）
（1）設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，Q點(diǎn)移動(dòng)的路程為2x．
∴CP=8-x，BQ=2x-6，CQ=16-2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足為H（如右下圖）．
∵∠A=90°，∴QH∥AB，
∴

QH

AB

=

CQ

CB

=

CH

AC

∴QH=

6

5

(8-x)，CH=

8

5

(8-x)
∴PH=CH-CP=

3

5

（8-x），
∴tan∠QPA=

QH

PH

=2．（1分）
∵tan∠QCA=

3

4

，
∴tan∠QPA+tan∠QCA=

11

4

，
tan∠QPA•tan∠QCA=

3

2

，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程為
y²-

11

4

y+

3

2

=0即4y²-11y+6=0．（1分）

（2）當(dāng)S_△PBQ=

12

5

時(shí)，設(shè)PA=x，點(diǎn)Q的位置有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)（如圖），
則AQ=2x，BQ=6-2x．
S_△PBQ=

1

2

PA•BQ
=

1

2

x(6-2x)
=

12

5

，
∴x2-3x+

12

5

=0，
∵△=9-

48

5

＜0，
∴此方程無(wú)實(shí)根，故點(diǎn)Q不能在AB上；（2分）
②當(dāng)點(diǎn)Q在BC邊上時(shí)（如圖），
則QB=2x-6．
作PG⊥BC，垂足為G，
∴△PCG∽△BCA，
∴

PG

BA

=

PC

BC

，
∴PG=

3

5

(8-x)，
∴S_△PBQ=

1

2

QB•PG
=

1

2

•(2x-6)•

3

5

(8-x)
=

12

5

．
∴x²-11x+28=0，
解得：x₁=4，x₂=7．
∴S_△PBQ=

12

5

時(shí)，PA=4或7．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，勾股定理、正切函數(shù)的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．注意在求第二問(wèn)時(shí)，雖然點(diǎn)Q不能在AB上，但是在討論時(shí)，不能遺漏這種情況．