Question

（2009•房山區(qū)二模）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD=10，sinC=．
（1）求直角梯形ABCD的面積；
（2）點E是BC上一點，過點E作EF⊥DC于點F．求證：AB•CE=EF•CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，過點D作DG⊥BC于點G，這樣把梯形分割成直角三角形和矩形，然后解直角△DGC，求出DG、CG，這樣就可以求出梯形的面積了；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知容易證明DGC∽△EFC，這樣就可以證明AB•CE=EF•CD了．
解答：（1）解：過點D作DG⊥BC于點G，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABGD是矩形．
∴AB=DG，AD=BG．
在△CDG中，∠DGC=90°，CD=BC=10，
sinC=，DG=8，CG=6，
∴AD=BG=4．
∴AD+BC=14．
∴梯形ABCD的面積S=56．

（2）證明：∵DG⊥BC，EF⊥DC，
∴∠DGC=∠EFC=90°．
又∵∠C=∠C，
∴△DGC∽△EFC．
∴DG•CE=EF•CD．
∴AB•CE=EF•CD．
點評：此題考查了梯形的一種常用輔助線-作梯形的高，把梯形分割成直角三角形和矩形，然后解直角三角形求出題目結(jié)果．