Question

【題目】如圖所示，在⊙O中， = ，弦AB與弦AC交于點(diǎn)A，弦CD與AB交于點(diǎn)F，連接BC．
（1）求證：AC2=ABAF；
（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為2cm，∠B=60°，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ = ，

∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，

∴△ACF∽△ABC，

∴ = ，即AC2=ABAF；

（2）解：解：連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，

如圖所示：

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，

又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE= ×120°=60°，

在Rt△AOE中，OA=2cm，

∴OE=OAcos60°=1cm，

∴AE= = cm，

∴AC=2AE=2 cm，

則S陰影=S扇形OAC﹣S△AOC= ﹣ ×2 ×1=（ ﹣ ）cm2．

【解析】（1）由 = ，利用等弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)公共角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△ACF與△ABC相似，根據(jù)相似得比例可得證；（2）連接OA，OC，利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，由∠B為60°，求出∠AOC為120°，過O作OE垂直于AC，垂足為點(diǎn)E，由OA=OC，利用三線合一得到OE為角平分線，可得出∠AOE為60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長(zhǎng)，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng)，由扇形AOC的面積﹣△AOC的面積表示出陰影部分的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積．
【考點(diǎn)精析】掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．