Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長線上，∠ABC＝∠CAD.

（1）若∠ABC＝20°，則∠OCA的度數(shù)為    ；

（2）判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

【答案】

（1）70°；（2）相切；（3）

【解析】

試題分析：（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理可求得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)圓的基本性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（2）延長AO與⊙O相交于點(diǎn)E，連接EC．先根據(jù)圓周角定理求得∠ECA＝90°，再結(jié)合ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，可得∠EAC＋∠CAD＝90°，即可證得結(jié)論；    

（3）設(shè)OD與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)G．根據(jù)垂徑定理可得AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．在Rt△OGA中，設(shè)OA＝x，根據(jù)勾股定理即可列方程求解．

（1）連接OA

∵∠ABC＝20°

∴∠AOC＝40°

∵OA=OC

∴∠OCA＝70°； 

（2）延長AO與⊙O相交于點(diǎn)E，連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ECA＝90°，

∴∠EAC＋∠AEC＝90°．

又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，

∴∠EAC＋∠CAD＝90°．

即OA⊥AD，而點(diǎn)A在⊙O上，

∴直線AD與⊙O相切；    

（3）設(shè)OD與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)G．

∵OD⊥AB，

∴AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，

在Rt△ACG中，可得GC＝3．  

在Rt△OGA中，設(shè)OA＝x，

由OA²＝OG²＋AG²，得x²＝(x－3)²＋4²  

解得x＝，即⊙O的半徑為．

考點(diǎn)：圓的綜合題

點(diǎn)評(píng)：圓的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.