Question

20、設（2x+1）⁶=a₀x⁶+a₁x⁵+a₂x⁴+a₃x³+a₄x²+a₅x+a₆，這是關于x的一個恒等式（即對于任意x都成立）．請設法求得以下三式的數值：
（1）a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆；（2）a₁+a₃+a₅；（3）a₂+a₄

Answer 1

分析：代入x的特殊值，當x=1時，可以得出a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆；當x=-1時可以根據x=1得出a₁+a₃+a₅；當x=0時根據a₆=1，又a₀為最高次項系數為2⁶，得a₂+a₄．

解答：解：（1）令x=1，得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=（2+1）⁶=729 ①；

（2）令x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆=（-2+1）⁶=1 ②
①-②得2（a₁+a₃+a₅）=729-1=728，
∴a₁+a₃+a₅=364 ③；

（3）①+②得2（a₀+a₂+a₄+a₆）=730，
得a₀+a₂+a₄+a₆=365 ④
令x=0，得a₆=1，又a₀為最高次項系數為2⁶，得a₂+a₄=300．

點評：本題考查了等式的應用問題，合理取x的值是解題的關鍵．