Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=. 動(dòng)點(diǎn)O在AC上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連結(jié)CD.

1.如圖1，當(dāng)直線CD與⊙O相切時(shí)，請(qǐng)你判斷線段CD與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

2.如圖2，當(dāng)∠ACD=15°時(shí)，求AD的長(zhǎng)

 

Answer 1

【答案】

 

1.CD=AD        ……1分

證明：如圖1，連結(jié)OD．

∵直線CD與⊙O相切．∴∠COD＝90°，……2分

又∵ OD＝OA，    ∴  ∠A=∠ADO＝30°．

∴  ∠COD=60°．∴  ∠ACD=30°．   ……3分

∴CD=AD，…………4分

2.如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F．

∵ ∠A＝30°，BC=，∴ AB=．    ……5分

∵ ∠ACD＝15°，∴ ∠BCD＝75°，∠BDC＝45°．……6分

  在Rt△BCF中，可求BF=，CF=．    

  在Rt△CDF中，可求DF＝．        ……7分

  ∴ AD＝AB－BF-FD＝－－＝ (－3)． ……8分

【解析】（1）直線CD與⊙O相切，連接OD，可得∠CDO=90°，則CD=BD．

（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)已知條件，可求出在三角形ABC中，AB=4．又∠BDC=45°，所以△DCF為等腰直角三角形，DF=CF，在Rt△BCF中，可求BF=，CF=3=DF，所以AD可用求差法進(jìn)行求解