Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；

（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）

∴將A與B兩點坐標代入得：，解得：。

∴拋物線的解析式是y=x²﹣3x。

（2）設直線OB的解析式為y=k₁x，由點B（4，4），得：4=4k₁，解得：k₁=1。

∴直線OB的解析式為y=x。

∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m。

∵點D在拋物線y=x²﹣3x上，∴可設D（x，x²﹣3x）。

又∵點D在直線y=x﹣m上，∴x²﹣3x=x﹣m，即x²﹣4x+m=0。

∵拋物線與直線只有一個公共點，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4。

此時x₁=x₂=2，y=x²﹣3x=﹣2。

∴D點的坐標為（2，﹣2）。

（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標是（0，3）。

根據軸對稱性質和三線合一性質得出∠A′BO=∠ABO，

設直線A′B的解析式為y=k₂x+3，過點（4，4），∴4k₂+3=4，解得：k₂=。

∴直線A′B的解析式是y=。

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即點N在直線A′B上。

∴設點N（n，），

又∵點N在拋物線y=x²﹣3x上，∴=n²﹣3n，解得：n₁=，n₂=4（不合題意，舍去）。

∴N點的坐標為（）。

如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則N₁（），B₁（4，﹣4）。

∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上。

由勾股定理，得OD=，OB₁=，

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，

∴△P₁OD∽△N₁OB₁。

∴。

∴點P₁的坐標為（）。

將△OP₁D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點P₂（）。

綜上所述，點P的坐標是（）或（）。

【解析】（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可。

（2）根據已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m．由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標。

（3）綜合利用幾何變換和相似關系求解：進行翻折變換，將△NOB沿x軸翻折，注意求出P點坐標之后，該點關于直線y=﹣x的對稱點也滿足題意，即滿足題意的P點有兩個。還可以進行旋轉變換，將△NOB繞原點順時針旋轉90°求解。