Question

（2013•安徽）已知矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2．將該紙片折疊成一個平面圖形，折痕EF不經(jīng)過A點（E，F(xiàn)是該矩形邊界上的點），折疊后點A落在點A′處，給出以下判斷：
①當四邊形A′CDF為正方形時，EF=

2

；
②當EF=

2

時，四邊形A′CDF為正方形；
③當EF=

5

時，四邊形BA′CD為等腰梯形；
④當四邊形BA′CD為等腰梯形時，EF=

5

．
其中正確的是

①③④

（把所有正確結論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

分析：①根據(jù)正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)判定“A'F剛好是矩形ABCD的中位線點E和點B重合，EF即正方形ABA'F的對角線”，所以在直角△AEF中，由勾股定理可以求得EF=

2

；
②根據(jù)①中的EF=

2

可以推知，當EF沿著BC邊平移時，EF的長度不變，但是四邊形A′CDF不是正方形；
③根據(jù)勾股定理求得BD=

5

，所以由已知條件可以推知EF與對角線BD重合．由折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)易證四邊形BA′CD為等腰梯形；
④當四邊形BA′CD為等腰梯形時，EF與對角線BD重合，即EF=

5

．

解答：解：∵在矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2，
∴BC=2AB．
①如圖①．∵A'CDF為正方形，說明A'F剛好是矩形ABCD的中位線，
∴AF=BA'=1，即點E和點B重合，EF即正方形ABA'F的對角線．
EF=

2

AB=

2

．
故①正確；．

②如圖①，由①知四邊形A′CDF為正方形時，EF=

2

，此時點E與點B重合．
EF可以沿著BC邊平移，當點E與點B不重合時，四邊形A′CDF就不是正方形．
故②錯誤；

③如圖②，∵BD=

BC2+CD2

=

22+12

=

5

，EF=

5

，
∴BD=EF，
∴EF與對角線BD重合．
易證BA'CD是等腰梯形．
故③正確；

④BA'CD為等腰梯形，只能是BA'=CD，EF與BD重合，所以EF=

5

．
故④正確．
綜上所述，正確的是①③④．
故填：①③④．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．