Question

如 圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）。

（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

               題25-1圖                     題25備用圖

Answer 1

解：（1）當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，由AD⊥AB，AD⊥EF可知EF∥BC

        ∴ ，

      又∵ AB=AC，AD⊥BC

        ∴ BD=CD

        ∴ EH=FH

        ∴ EF與AD互相垂直平分

        ∴ 四邊形AEDF為菱形

   （2）依題意得DH=2t，AH=8－2t，BC=10cm，AD=8cm，由EF∥BC知△AEF∽△ABC

        ∴ 即，解得

        ∴

        即△PEF的面積存在最大值10cm²，此時(shí)BP=3×2=6cm。

   （3）過(guò)E、F分別作EN⊥BC于N，EM⊥BC于M，易知EF=MN=

        EN=FM，由AB=AC可知BN=CM=

        在和中，由， 即，

解得，又由知，

，

        則 ，   

          

分三種情況討論：

     ①若∠EPF=90°，則，解得，（舍去）

②若∠EFP=90°，則，解得，（舍去）

③若∠FEP=90°，則，解得，（均舍去）

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△PEF為直角三角形。