設a=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+
1+
1
32
+
1
42
+…+
1+
1
20002
+
1
20012
，問與a最接近的整數(shù)是多少？
分析：通過上式找出規(guī)律，得出通項公式：
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
再進行化簡，得結果為1+
1
n(n+1)
，將自然數(shù)n代入求出結果，再判斷與a最接近的整數(shù)．
解答：解：∵n為任意的正整數(shù)，
∴
1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+n2+(n+1)2
[n(n+1)]2

=
[n(n+1)]2+2n(n+1)+1
[n(n+1)]2
=
(n2+n+1)2
[n(n+1)]2
=
n2+n+1
n(n+1)
=1+
1
n(n+1)
，
∴a=(1+
1
1×2
)+(1+
1
2×3
)+(1+
1
3×4
)+…+（1+
1
2000×2001
）
=2000+
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2000×2001

=2000+（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+（
1
3
-
1
4
）+…+(
1
2000
-
1
2001
)=2001-
1
2001
．
因此，與a最接近的整數(shù)是2001．
點評：點撥：①化一般式為有理式，②用裂項法將分數(shù)
1
n(n+1)
化成
1
n
-
1
n+1
，然后求和．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

設S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+
1+
1
32
+
1
42
+…+
1+
1
20082
+
1
20092
，則與S最接近的數(shù)是（　�。�
A、2008B、2009
C、2010D、2011

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

設S=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+…+
1+
1
19992
+
1
20002
，求不超過S的最大整數(shù)[S]．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•武漢模擬）設S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
，設S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，其中n為正整數(shù)，則用含n的代數(shù)式表示S為（　�。�

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

設S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
．若S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，求S（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）．

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