Question

如果x₁，x₂是方程x²-ax+a+3=0（a為實數(shù)）的兩個實數(shù)根，則的最小值為

1. A.
   18
2. B.
   0
3. C.
   -7
4. D.
   2

Answer 1

D
分析：x₁，x₂是方程x²-ax+a+3=0（a為實數(shù)）的兩個實數(shù)根，∴△≥0，由此不難求出參數(shù)a的范圍；由根與系數(shù)的關系可得：x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，又知=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6的形式，再利用韋達定理（即一元二次方程根與系數(shù)的關系）將其轉化為關于a的不等式，進面求出的最小值．
解答：∵關于x的方程x²-ax+a+3=0（a為實數(shù)）的兩個實數(shù)根，
∴△=（-a）²-4（a+3）≥0，即（a+2）（a-6）≥0，
解得，a≥6，或a≤-2；
由根與系數(shù)的關系可得：
x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，
又知=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6=（a-1）²-7≥0；
當a≥6時，a-1≥5，
∴（a-1）²≥25，
∴（a-1）²-7≥18，
此時，的最小值為18；
當a≤-2時，
∴a-1≤-3，
∴（a-1）²≥9，
∴（a-1）²-7≥2，
此時，的最小值為2；
綜上所述，取最小值是2．
故選D．
點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及利用配方法確定式子的最值．將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．