Question

（2008•瀘州）如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的頂點(diǎn)為M，又正比例函數(shù)y=kx的圖象于二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)D、E，且P是線段DE的中點(diǎn)．
（1）求該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)E（2，3），且二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，試根據(jù)函數(shù)圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍；
（3）0＜k＜2時，求四邊形PCMB的面積s的最小值．
【參考公式：已知兩點(diǎn)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則線段DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為】

Answer 1

【答案】分析：（1）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），可求二次函數(shù)解析式，并確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）把E（2，3）代入y=kx中得正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立正比例函數(shù)解析式和拋物線解析式，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象求出符合條件的x的范圍；
（3）求直線與拋物線的交點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用割補(bǔ)法表示四邊形PCMB的面積，然后求最小值．
解答：解：（1）由y=ax²+bx+c，則得
，
解得，
故函數(shù)解析式是：y=-x²+2x+3．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，
點(diǎn)M（1，4）．

（2）由點(diǎn)E（2，3）在正比例函數(shù)y=kx的圖象上得，3=2k，得k=，
故y=x，
由，
解得D點(diǎn)坐標(biāo)為（），
由圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時，自變量x的取值范圍是-＜x＜2．

（3），
解得，點(diǎn)D、E坐標(biāo)為D（）、
E（），
則點(diǎn)P坐標(biāo)為P（）由0＜k＜2，知點(diǎn)P在第一象限．
由點(diǎn)B（3，0），C（0，3），M（1，4），
得S_{四邊形COBM}=，
則S_{四邊形PCMB}=，
整理，配方得S_{四邊形PCMB}=．
故當(dāng)時，四邊形PCMB的面積值最小，最小值是．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，學(xué)會用兩個函數(shù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)表示兩個函數(shù)值的大小關(guān)系，并對二次函數(shù)進(jìn)行運(yùn)用．