Question

如圖，在△ABC中，AD，BE分別是∠A，∠B的角平分線(xiàn)，O是AD與BE的交點(diǎn)，若C，D，O，E四點(diǎn)共圓，DE=3，則△ODE的內(nèi)切圓半徑為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)角平分線(xiàn)定義和三角形的內(nèi)角和定理，得∠AOB=90°+

1

2

∠C，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求得∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°．根據(jù)三角形的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，則CO平分∠ACB，則OD=OE，∠OED=∠ODE=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)切圓的半徑等于其面積2倍除以周長(zhǎng)求解．

解答：解：作OF⊥ED于點(diǎn)F，
∵AD，BE分別是∠A，∠B的角平分線(xiàn)，
∴∠AOB=90°+

1

2

∠C，CO平分∠ACB，
又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°，
∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°，
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE=30°，
∴FD=

3

2

，
tan30°=

FO

DF

=

FO

3 2

，
∴FO=

3

2

，OD=OE=

3

，
∴△ODE的周長(zhǎng)為：2

3

+3，
∴△ODE的面積為：

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
∴△ODE的內(nèi)切圓半徑為

3 3 2

2 3 +3

=3-

3 3

2

．
故答案為：3-

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了角平分線(xiàn)定義、三角形的內(nèi)角和定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)切圓的半徑的計(jì)算方法．