Question

已知：如圖①，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延長AB到E，使BE=CD，連接CE．

（1）求證：CE=CA；
（2）在上述條件下，延長AD、EC交于點(diǎn)G，若將AE沿AF翻折，點(diǎn)E與點(diǎn)G剛好重合，如圖②．且GC：CE=3：5，AE=2

10

，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）先由四邊形ABCD是等腰梯形得出CA=DB，再根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形DBEC是平行四邊形，得出CE=DB，從而得到CE=CA；
（2）先由軸對稱的性質(zhì)得出AF⊥EG，AG=AE，EF=

1

2

EG．過C點(diǎn)作AE的垂線，垂足為H．根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出BE：AB=GD：DA=GC：CE=3：5，且AD=AB，由AE=2

10

，得到AB=

5

4

10

，DC=BE=

3

4

10

，再由四邊形ABCD是等腰梯形，得出BH=

1

2

（AB-CD）=

1

4

10

，在直角三角形BCH中，運(yùn)用勾股定理求出CH=

15

，則EH=BE+BH=

10

，在直角三角形CEH中，運(yùn)用勾股定理求出CE=5，則EF=

1

2

EG=4，最后在Rt△AEF中，運(yùn)用勾股定理求出AF=2

6

．

解答：（1）證明：如圖①．
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴CA=DB．
∵CD=BE且CD∥BE，
∴四邊形DBEC是平行四邊形，
∴CE=DB，
∴CE=CA；

（2）解：如圖②．
∵將AE沿AF翻折，點(diǎn)E與點(diǎn)G剛好重合，
∴△AFG≌△AFE，AF⊥EG，
∴AG=AE，EF=

1

2

EG．
過C點(diǎn)作AE的垂線，垂足為H．
∵DC∥AE，
∴GD：DA=GC：CE=3：5，
∵四邊形DBEC是平行四邊形，
∴BD∥CE，
∴BE：AB=GD：DA=3：5，且AD=AB，
又∵AE=2

10

，
∴AB=

5

4

10

，DC=BE=

3

4

10

．
又∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴BH=

1

2

（AB-CD）=

1

4

10

，BC=AD=AB=

5

4

10

．
∴在直角三角形BCH中，CH=

BC2-BH2

=

15

．
∵EH=BE+BH=

3

4

10

+

1

4

10

=

10

，
∴在直角三角形CEH中，CE=

CH2+EH2

=5，
∴CG=3，EG=CE+CG=8，EF=

1

2

EG=4．
在Rt△AEF中，∵∠AFE=90°，
∴AF=

AE2-EF2

=

(2 10 )2-42

=2

6

．

點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．