Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D．一動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)停止．

1.求拋物線的解析式；

2.若拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，四邊形POQE是等腰梯形？

3.當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似？

 

Answer 1

 

1.∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OC=AB=4．

∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．

∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)B，∴c=2．

由題意，有  解得

∴所求拋物線的解析式為．

2.將拋物線的解析式配方，得．

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2．

∴D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0）．

欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OP=QE．即BP=FQ．

∴t=6－3t，即t=．

3.欲使以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似，

∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有或，

即PB=OQ或OB²=PB·QO．

①若P、Q在y軸的同側(cè)．當(dāng)PB=OQ時(shí)，t=8－3t，∴t=2．

當(dāng)OB²=PB·QO時(shí)，t(8－3t)=4，即3t²－8t+4=0．

解得．

②若P、Q在y軸的異側(cè)．當(dāng)PB=OQ時(shí)，3t－8=t，∴t=4．

當(dāng)OB²=PB·QO時(shí)，t(3t－8)=4，即3t²－8t－4=0．解得．

∵t=<0．故舍去，∴t=．

∴當(dāng)t=2或t=或t=4或t=秒時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似．  

解析:（1）根據(jù)AB、OB的長(zhǎng)，即可得到A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；由于四邊形ABCO是平行四邊形，則AB=OC，由此可求出OC的長(zhǎng)，即可得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸方程，進(jìn)而可求出E、F的坐標(biāo)；若四邊形POQE是等腰梯形，則OP=EQ，而OB=EF，可得BP=FQ，根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系即可求出t的值；

（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，對(duì)應(yīng)相等，若以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似，則有兩種情況：

①P、Q在y軸同側(cè)，②P、Q在y軸兩側(cè)；

每種情況又分為△PBO∽△QOB（此時(shí)兩者全等），△PBO∽△BOQ兩種情況；根據(jù)不同的相似三角形所得到的不同的比例線段即可求出t的值．