Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5。點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)。

（1）求梯形ABCD的面積；
（2）求四邊形MEFN面積的最大值；
（3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）分別過D，C兩點作DG⊥AB于點G，CH⊥AB于點H， ∵AB∥CD， ∴DG=CH，DG∥CH， ∴四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1， ∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°， ∴△AGD≌△BHC（HL）， ∴AG=BH==3， ∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5， ∴DG=4， ∴。
（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， ∴ME=NF，ME∥NF， ∴四邊形MEFN為矩形， ∵AB∥CD，AD=BC， ∴∠A=∠B， ∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°， ∴△MEA≌△NFB（AAS）， ∴AE=BF， 設AE=x，則EF=7-2x， ∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°， ∴△MEA∽△DGA， ∴， ∴ME=， ∴， 當x=時，ME=<4， ∴四邊形MEFN面積的最大值為。 （3）能。 由（2）可知，設AE=x，則EF=7-2x，ME=， 若四邊形MEFN為正方形，則ME=EF， 即，解得， ∴， ∴四邊形MEFN能為正方形，其面積為。