Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，|x﹣y|），則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)（2，2）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（2）如果點(diǎn)P在函數(shù)y＝x﹣1的圖象上，其“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q與點(diǎn)P重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)M（m，n）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N在函數(shù)y＝x2的圖象上，當(dāng)0≤m≤2時(shí)，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）；（2）（2，1）；（3）當(dāng)0≤m≤2時(shí)，線段MN的最大值為6．

【解析】

（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)點(diǎn)P在函數(shù)y＝x﹣1的圖象上，即可得出P（x，x﹣1）、Q（x，1），再根據(jù)點(diǎn)P、Q重合即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義找出點(diǎn)N的坐標(biāo)，分m≥n和m＜n兩種情況考慮，根據(jù)點(diǎn)N在函數(shù)y＝x2的圖象上，即可用含m的代數(shù)式表示出n，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可找出MN的關(guān)系式，利用一次（二次）函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段MN的最大值．

解：（1）∵|2﹣2|＝0，

∴點(diǎn)（2，2）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2，0）．

（2）∵點(diǎn)P在函數(shù)y＝x﹣1的圖象上，

∴P（x，x﹣1），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，1），

∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，

∴x﹣1＝1，解得：x＝2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）．

（3）∵點(diǎn)M（m，n），

∴點(diǎn)N（m，|m﹣n|）．

∵點(diǎn)N在函數(shù)y＝x2的圖象上，

∴|m﹣n|＝m2．

（i）當(dāng)m≥n時(shí)，m﹣n＝m2，

∴n＝﹣m2+m，

∴M（m，﹣m2+m），N（m，m2）．

∵0≤m≤2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|﹣m2+m﹣m2|＝m|2m﹣1|．

①當(dāng)0≤m≤時(shí)，MN＝﹣2m2+m＝﹣2（m﹣）2+，

∴當(dāng)m＝時(shí)，MN取最大值，最大值為．

②當(dāng)＜m≤2時(shí)，MN＝2m2﹣m＝2（m﹣）2+，

當(dāng)m＝2時(shí)，MN取最大值，最大值為6．

（ii）當(dāng)m＜n時(shí)，n﹣m＝m2，

∴n＝m2+m，

∴M（m，m2+m），N（m，m2）．

∵0≤m≤2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|m2+m﹣m2|＝m，

當(dāng)m＝2時(shí)，MN取最大值2．

綜上所述：當(dāng)0≤m≤2時(shí)，線段MN的最大值為6．