Question

（2013•豐臺區(qū)二模）如圖，在△OA₁B₁中，∠OA₁B₁=90°，OA₁=A₁B₁=1．以O(shè)為圓心，OA₁為半徑作扇形OA₁B₂，

A1B2

與OB₁相交于點(diǎn)B₂，設(shè)△OA₁B₁與扇形OA₁B₂之間的陰影部分的面積為S₁；然后過點(diǎn)B₂作B₂A₂⊥OA₁于點(diǎn)A₂，又以O(shè)為圓心，OA₂為半徑作扇形OA₂B₃，

A2B3

與OB₁相交于點(diǎn)B₃，設(shè)△OA₂B₂與扇形OA₂B₃之間的陰影部分面積為S₂；
按此規(guī)律繼續(xù)操作，設(shè)△OA_nB_n與扇形OA_nB_n+1之間的陰影部分面積為S_n．
則S₁=

1

2

-

π

8

； S_n=

1

2n

-

π

2n+2

．

Answer 1

分析：以O(shè)為圓心，OA₁為半徑作扇形OA₁B₂，得到S₁=S_△OA1B1-S_扇形OA1B2=

1

2

-

45π×1

360

=

1

2

-

π

8

；又以O(shè)為圓心，OA₂為半徑作扇形OA₂B₃，得到S₂=S_△OA2B2-S_扇形OA2B3=

1

4

-

45π× 2 2

360

=

1

4

-

2

16

π；依此類推得到S_n=

1

2n

-

π

2n+2

．

解答：解：如圖，∵在△OA₁B₁中，∠OA₁B₁=90°，OA₁=A₁B₁=1．
∴∠B₁OA₁=45°．
以O(shè)為圓心，OA₁為半徑作扇形OA₁B₂，得到S₁=S_△OA1B1-S_扇形OA1B2=

1

2

-

45π×1

360

=

1

2

-

π

8

；
在直角△OA₂B₂中，OB₂=1，則OA₂=

2

2

，得到S₂=S_△OA2B2-S_扇形OA2B3=

1

4

-

45π× 2 2

360

=

1

4

-

2

16

π；
依此類推得到S_n=

1

2n

-

π

2n+2

．
故答案是：

1

2

-

π

8

； 

1

2n

-

π

2n+2

．

點(diǎn)評：本題考查了扇形面積的計(jì)算．此題是根據(jù)直角三角形以及扇形的面積公式找出規(guī)律．