Question

等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，⊙O的速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)△ABC的邊長(zhǎng)AB、BC又以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大．

（1）△ABC的邊與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)了多少距離？
（2）從△ABC的邊與圓第一次相切到最后一次相切，共經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？
（3）是否存在某一時(shí)刻，△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積？若存在，求出恰好符合條件時(shí)兩個(gè)圖形各運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)△ABC第一次與圓相切時(shí)，應(yīng)是AC與圓相切．如圖，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)，交B′C′于F．設(shè)⊙O與直線l切于點(diǎn)D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l．由切線長(zhǎng)定理，以及直角三角形的性質(zhì)可求得CD的值，進(jìn)而求得CC′的值，從而求得點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，也就有了點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，點(diǎn)B移動(dòng)的距離可求得；
（2）△ABC與⊙O從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切時(shí)，應(yīng)為AB與圓相切，路程差為6，速度差為1，故從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切的時(shí)間為6秒．
（3）若圓能在△ABC的內(nèi)部時(shí)，則存在；若圓O不能在三角形的內(nèi)部，則不存在；即求在（2）條件下，AC與圓的位置關(guān)系即可．

解答：解：（1）設(shè)第一次相切時(shí)，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)交B′C′于F．
設(shè)⊙O與直線l切于點(diǎn)D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l，
由切線長(zhǎng)定理可知C′E=C′D，設(shè)C′D=x，則C′E=x，易知C′F=

2

x，
∴

2

x+x=1，
解得：x=

2

-1，
∴CC′=5-1-（

2

-1）=5-

2

，
∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（5-

2

）÷（2+0.5）=2-

2 2

5

，
則點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離為2×（2-

2 2

5

）=4-

4 2

5

；

（2）∵△ABC與⊙O從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切時(shí)，是AB與圓相切，且圓在AB的左側(cè)，
故路程差為6，速度差為1，
∴從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切的時(shí)間為6秒；


（3）不存在，理由為：△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積，即使△ABC的三邊與⊙O相切，
∵△ABC與⊙O從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相切時(shí)，路程差為4，速度差為1，
∴從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相切的時(shí)間為4秒，此時(shí)△ABC移至△A″B″C″處，A″B″=1+4×

1

2

=3，
連接B″O并延長(zhǎng)交A″C″于點(diǎn)P，易證B″P⊥A″C″，且OP=

3 2

2

-

2

=

2

2

＜1，
∴此時(shí)⊙O與A″C″相交，
∴不存在．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識(shí)有：圓與直線的位置關(guān)系，切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，是一道較為復(fù)雜的試題．