Question

矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AD=2AB=4,現(xiàn)有一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角三角板的兩邊與矩形ABCD的邊交于點(diǎn)E,F,如果OE=a,用a的代數(shù)式表示出所有可能的OF的值________.

Answer 1

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)。


分析：當(dāng)F為CD的中點(diǎn)時(shí)，OE=FC=FD=a，由△DFO∽△DCB，利用相似比求OF，當(dāng)F不是CD的中點(diǎn)時(shí)，作OM⊥BC，ON⊥CD，垂足分別為M、N，可證△OME∽△ONF，由相似比可求OF，當(dāng)F與C點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)O點(diǎn)作OG⊥OC，交BC于G點(diǎn)
解：①當(dāng)F為CD的中點(diǎn)時(shí)，OE=FC=FD=a=1，
∵O為BD的中點(diǎn)，∴OF∥BC，
∴△DFO∽△DCB，則，
∴OF=2;
② 當(dāng)F不是CD的中點(diǎn)時(shí)，作OM⊥BC，ON⊥CD，垂足分別為M、N，
∵∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOE=∠NOF，
∴△OME△△ONF，，
∴OF=2a;
③ 當(dāng)F與C點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)O點(diǎn)作OG⊥OC，交BC于G點(diǎn)，
OF=OC=
故答案為：2，2a，
本題較難，解題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得出幾個(gè)特殊位置的OF的值。