Question

（2012•營口一模）[提出問題]：已知矩形的面積為1，當(dāng)該矩形的長為多少時，它的周長最��？最小值是多少？
[建立數(shù)學(xué)模型]：設(shè)該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+

1

x

（x＞0）．
[探索研究]：我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)y=x+（x＞0）的圖象和性質(zhì)．
①填寫下表，畫出函數(shù)的圖象；

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

②觀察圖象，寫出當(dāng)自變量x取何值時，函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）有最小值；
③我們在課堂上求二次函數(shù)最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值．

Answer 1

分析：①將x=

1

4

，

1

3

，

1

2

，1，2，3，4分別代入y=x+

1

x

中，求出對應(yīng)的y值，填表如下；根據(jù)表格找出7個點(diǎn)的坐標(biāo)，描在平面直角坐標(biāo)系中，然后用平滑的曲線作出函數(shù)圖象即可；
②由函數(shù)圖象，可得出函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）取得最小值時x的值；
③將y=x+

1

x

的兩項變形為兩數(shù)的平方，加上兩數(shù)之積的2倍，同時減去兩數(shù)之積的2倍，保證與原式相等，利用完全平方公式變形后，根據(jù)完全平方式最小值為0，可得出y的最小值及此時x的值．

解答：解：①填表如下：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	17 4	10 3	5 2	2	5 2	10 3	17 4	…

描點(diǎn)；連線，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：

②觀察圖象，可得：當(dāng)x=1時，函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2；
③解：y=x+

1

x

=（

x

）²+（

1 x

）²-2

x

•

1 x

+2

x

•

1 x

=（

x

-

1 x

）²+2，
當(dāng)

x

-

1 x

=0，即x=1時，函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2，
則函數(shù)y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．

點(diǎn)評：此題考查了利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，以及完全平方公式的運(yùn)用，利用了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的探究型試題．