Question

求所有的二次函數(shù)f（x）=x²-ax+b，這里a、b為整數(shù)，且存在三個取自1，2，…，9的不同整數(shù)m、n、p，使得|f（m）|=|（fn）|=|f（p）|=7．

Answer 1

解：可以這樣考慮：原命題等價于方程x²-ax+b=7①與x²-ax+b=-7②．
存在三個取自1，2，…，9的不同整數(shù)根時，求整數(shù)a，b的值．
（1）首先如果方程x²-ax+b=7有一個整數(shù)根，則另一根也必為整數(shù)，方程x²-ax+b=-7也是這樣．
（2）分幾種情況討論：
第一：這兩個方程中有一個方程有兩個相等的實數(shù)根，另一個方程有兩個不等實根，且這三個根是在1，2，…，9中的不同整數(shù)．①的判別式△₁=a²-4b+28，②的判別式△₂=a²-4b-28，
只有△₂=0，但此時△₁不是完全平方數(shù)，不合題意．
第二：兩個方程都有兩個不等實根，且都為整數(shù)，但其中有一個不在[1，9]區(qū)間之內(nèi)，或兩方程有一公共根．
通過討論判別式（是否為完全平方數(shù)），可以得到4組符合條件的（a，b）：（7，-1）（9，7）（11，17）（13，29）．
分析：先將原題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判別式的問題，然后分情況進(jìn)行討論．
點評：此題難度很大，不僅要有強(qiáng)大的計算能力，更要有很高的邏輯思維能力，進(jìn)行必要的判斷．