Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時從原點(diǎn)出發(fā)作勻速運(yùn)動，點(diǎn)P沿x軸正方向運(yùn)動，點(diǎn)Q沿OB→BA方向運(yùn)動，并同時到達(dá)點(diǎn)A．點(diǎn)P運(yùn)動的速度為1厘米/秒．
（1）求點(diǎn)Q運(yùn)動的速度；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到線段BA上時，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為x（秒），△POQ的面積為y（平方厘米），那么用x的代數(shù)式表示AQ=______，并求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若將（2）中所得函數(shù)的自變量x的取值范圍擴(kuò)大到任意實(shí)數(shù)后，其函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M與該函數(shù)圖象和x軸的兩個交點(diǎn)所組成的三角形面積等于△AOB的面積？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-34x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴A（8，0），B（0，6）
∴OA=8，0B=6，AB=10
∴點(diǎn)Q運(yùn)動的速度=（6+10）÷（8÷1）=2厘米/秒；

（2）AQ=10+6-2X=16-2X，
作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則QE∥y軸，
∴△AQE∽△ABO
∴QE：6=AQ：AB
∴QE=AQ
∴y=•OP•QE=•x•（16-2x）=-x 2+x；

（3）設(shè)M（a，b）
令y=0，則0=-x 2+x
∴x=0或x=8
即函數(shù)圖象與x軸交于（0，0），（8，6）
∵點(diǎn)M與該函數(shù)圖象和x軸的兩個交點(diǎn)所組成的三角形面積等于△AOB的面積
∴|b|××8=×6×8
∴b=±6
當(dāng)b=6時，6=-x 2+x，所以x=4±；
當(dāng)b=-6時，-6=-x 2+x，所以x=4．
所以M（4±，6），（4，-6）．
分析：（1）因?yàn)橹本�y=-34x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，所以可求出A（8，0），B（0，6），進(jìn)而求出線段OA=8，0B=6，AB=10，利用速度=路程÷時間即可解決問題；
（2）AQ=10+6-2X=16-2X，要求y與x的函數(shù)關(guān)系式，可作QE⊥x軸于點(diǎn)E，則QE∥y軸，得到△AQE∽△ABO，進(jìn)而可得到QE：6=AQ：AB，QE=AQ；又因y=•OP•QE代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求解；
（3）可設(shè)M（a，b），令y=0，則可求出函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)（0，0），（8，6），利用點(diǎn)M與該函數(shù)圖象和x軸的兩個交點(diǎn)所組成的三角形面積等于△AOB的面積，可得到|b|××8=×6×8，b=±6，然后分情況討論：當(dāng)b=6時，6=-x 2+x；所以x=4±；當(dāng)b=-6時，-6=-x 2+x；所以x=4，所以M（4±，6），（4，-6）．
點(diǎn)評：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用方程、相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．