Question

如圖（1），以梯形OABC的頂點O為原點，底邊OA所在的直線為軸建立直角坐標系．梯形其它三個頂點坐標分別為：A（14，0），B（11，4），C（3，4），點E以每秒2個單位的速度從O點出發(fā)沿射線OA向A點運動，同時點F以每秒3個單位的速度，從O點出發(fā)沿折線OCB向B運動，設(shè)運動時間為t．
（1）當(dāng)t=4秒時，判斷四邊形COEB是什么樣的四邊形？
（2）當(dāng)t為何值時，四邊形COEF是直角梯形？
（3）在運動過程中，四邊形COEF能否成為一個菱形？若能，請求出t的值；若不能，請簡要說明理由，并改變E、F兩點中任一個點的運動速度，使E、F運動到某時刻時，四邊形COEF是菱形，并寫出改變后的速度及t的值

Answer 1

分析：（1）作CG⊥OA于G，BH⊥OA于H，由A（14，0）B（11，4）C（3，4）可以求出AH=3，BC=8，OG=3，CG=BH=4，及CB∥OA，當(dāng)t=4時，OE=8，可以得到，BC=OE，從而可以得出結(jié)論．
（2）由圖2可以知道，當(dāng)四邊形COEF是直角梯形時，EF=GE，就有3t-5=2t-3，從而可以求出t的值．
（3）通過計算，可以知道要使四邊形COEF是菱形，就有3t=10，2t=5，求出t值不相等，故不存在菱形，當(dāng)把F的速度改為4后，就可以計算出成為菱形的時間．

解答：解：（1）作CG⊥OA于G，BH⊥OA于H，且B（11，4），C（3，4），
∴∠CGO=∠BHA=90°，OG=3，CG=4，AH=3，BH=4，BC=8，
∴△CGO≌△BHA，
∴OC=AB，在Rt△OGC中由勾股定理，得
OC²=OG²+CG^2，
∴OC²=3²+4²，
∴OC=5，
∴AB=5，
∵點E以每秒2個單位的速度從O點出發(fā)沿射線OA向A點運動，
∴當(dāng)運動時間為4時，OE=8，
∴OE=BC，
∵BC∥OA，
∴四邊形COEB是平行四邊形．

（2）如圖2，設(shè)t秒時四邊形COEF是直角梯形，
∴OC+CF=3t，OE=2t，CF=GE，
∴3t-OC=2t-OG，
∴3t-5=2t-3，解得：
t=2．

（3）假設(shè)運動t秒后，四邊形COEF是菱形，
∴CF=OE=CO=5，
∵OC+CF=3t=10，0E=2t=5，
∴t=

10

3

而t=

5

2

，
∵

10

3

≠

5

2

∴不存在符合條件的t．
當(dāng)F的速度每秒4個單位的速度，從O點出發(fā)沿折線OCB向B運動，而E點的速度不變，F(xiàn)運動到某時刻時，四邊形COEF是菱形．
∴由題意，得4t-5=5，
∴t=

5

2

，
∴OE=2×

5

2

=5，
∴CF=CO=EO=5，
∴當(dāng)t=

5

2

時，四邊形COEF是菱形．
改變后F的速度為：10÷

5

2

=4

點評：本題考查了等腰梯形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，勾股定理的運用，動點問題的運用．