Question

（1）能否找到16個正整數，使其中任意9個數的和都不能被9整除？如果能，請把它們寫出來，并說明所寫數的特征；如果不能，請說明理由．
（2）能否找到17個正整數滿足上述要求？為什么？

Answer 1

分析：（1）這樣的16個數，其中8個數都能被9整除，另8個數被9整除都余1，這樣的16個數中，任何9個數的和都不能被9整除；
（2）由于任一正整數被3除的余數，只能是0、1、2對于任意5個正整數，若它們被3除的余數中，三種余數都有，則可取得每種余數的數各一個，其和必是3的倍數，若這5個數被3除的余數中，只有至多兩種余數，則由抽屜原理得，其中至少有3個數被3除的余數相同，取這3個數，其和必是3的倍數．對于任意17個正整數，可先從中取五個數，由上面的結論，其中必可找到3個數，其和為3的倍數，對于任意17個正整數可可先從中取五個數找出任意3個數均為3的倍數，可設其和為3a，同理可得到3b、3e，再把所得結果相加即可得出答案．

解答：解：（1）能，例如，這樣的16個數，其中8個數都能被9整除，另8個數被9整除都余1，這樣的16個數中，任何9個數的和都不能被9整除；
（2）先說明如下結論，任取5個正整數，其中必有三個數，其和為3的倍數．
任一正整數被3除的余數，只能是0、1、2對于任意5個正整數，若它們被3除的余數中，三種余數都有，則可取得每種余數的數各一個，其和必是3的倍數，若這5個數被3除的余數中，只有至多兩種余數，則由抽屜原理得，其中至少有3個數被3除的余數相同，取這3個數，其和必是3的倍數．
對于任意17個正整數，可先從中取五個數，由上面的結論，其中必可找到3個數，其和為3的倍數，記作3a，再從余下的14個數中任取5各數，其中又可找到3個數，其和為3的倍數，記作3b₁…依次下去，可得和3c，3d，最后余下的5個數中，又可找到3個數的和為3e（a、b、c、d、e均為正整數）．
考慮a、b、c、d、e這5個數，又可從中找到3個數，其和為3的倍數，
不妨設a+b+c=3k（k是正整數），于是3a+3b+3c=3（a+b+c）=9k，
即和為3a、3b、3c這3組的9個數之和為9的倍數，所以，找不到17個正整數能滿足題中條件．

點評：本題考查的是數的整除性問題，解答此類題目的關鍵是熟知數的整除性質．