Question

(2007，重慶，28)解答時(shí)必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟．

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°．∠BOA=30°，AB=2．若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C處．

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)若拋物線經(jīng)過(guò)C、A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；

(3)若拋物線的對(duì)稱軸與OB交于點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段DB上一點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(注：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，對(duì)稱軸公式為)

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，因?yàn)樵?/FONT>Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，所以OB=4，． 由折疊知，∠COB=30°，． 所以∠COH=60°，所以，．所以C(，3)． (2)因?yàn)閽佄锞�過(guò)點(diǎn)、A(，所以解這個(gè)方程組，得 所以拋物線的解析式為：． (3)存在． 因?yàn)?/FONT>的頂點(diǎn)坐標(biāo)為即為點(diǎn)C．MP⊥x軸，設(shè)垂足為N，PN=t，因?yàn)椤?/FONT>BOA=30°，所以，所以 ． 作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E，把代入，得，所以，． 同理，． 要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD．即，解得，(舍)． 所以． 故，存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)．