Question

（2012•南寧）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+1，一次函數(shù)y=k（x-1）-

k2

4

，若它們的圖象對于任意的非零實數(shù)k都只有一個公共點，則a，b的值分別為（　�。�

A．a(chǎn)=1，b=2

B．a(chǎn)=1，b=-2

C．a(chǎn)=-1，b=2

D．a(chǎn)=-1，b=-2

Answer 1

分析：根據(jù)題意由y=ax²+bx+1①，y=k（x-1）-

k2

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②，組成的方程組只有一組解，消去y，整理得，ax²+（b-k）x+1+k+

k2

4

=0，則△=（b-k）²-4a（1+k+

k2

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）=0，整理得到（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4a=0，由于對于任意的實數(shù)k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b²-4a=0，求出a，b即可．

解答：解：根據(jù)題意得，
y=ax²+bx+1①，
y=k（x-1）-

k2

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②，
解由①②組成的方程組，消去y，整理得，ax²+（b-k）x+1+k+

k2

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=0，
∵它們的圖象對于任意的實數(shù)k都只有一個公共點，則方程組只有一組解，
∴x有兩相等的值，
即△=（b-k）²-4a（1+k+

k2

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）=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4a=0，
由于對于非零實數(shù)k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，
∴b²-4a=0，
∴a=1，b=-2，
故選B．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．二次函數(shù)的一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；也考查了利用方程組的解的情況確定函數(shù)圖象交點的問題，而方程組的解的情況轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況．