Question

如圖，PB切于點(diǎn)B，聯(lián)結(jié)PO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BA⊥PE交于點(diǎn)A，聯(lián)結(jié)AP，AE．

（1）求證：PA是的切線；

（2）如果OD＝3，tan∠AEP＝，求的半徑．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）5．

【解析】

試題分析：（1）連接OA、OB，根據(jù)垂徑定理得出AB⊥OP，推出AP=BP，∠APO=∠BPO，證△PAO≌△PBO，推出∠PBO=∠PAO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）在Rt△ADE中，由tan∠AEP＝＝，設(shè)AD＝x，DE＝2x，則OE＝2x—3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得．解出x，則可以求出⊙O的半徑的長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：如圖，聯(lián)結(jié)OA，OB ．∵PB是⊙O的切線，∴ ∠PBO＝90°．∵ OA＝OB，BA⊥PE于點(diǎn)D，∴ ∠POA＝∠POB．又∵ PO＝PO，∴ △PAO≌△PBO．∴ ∠PAO＝∠PBO＝90°．∴PA⊥OA．∴ 直線PA為⊙O的切線；

（2）在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∵tan∠AEP＝＝，∴設(shè)AD＝x，DE＝2x，∴OE＝2x—3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得．解得，，（不合題意，舍去）．∴ AD＝4，OA＝OE＝2x－3＝5．即⊙O的半徑的長(zhǎng)5．

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)．