Question

如圖（1），∠ABC=90°，O為射線BC上一點(diǎn)，OB=4，以點(diǎn)O為圓心，BO長為半徑作⊙O交BC于點(diǎn)D、E．
（1）當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)與⊙O相切？請說明理由；
（2）若射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與⊙O相交于M、N兩點(diǎn)（如圖（2）），MN=，求的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)與⊙O相切，就要先利用切線的性質(zhì)畫出圖形，從圖中可以看出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是∠A′BC的度數(shù)．然后利用圖形來計(jì)算．從圖中可看出，OG=OB的一半，所以角PBG=30°，所以當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°或120°時(shí)與⊙O相切；
（2）由勾股定理邊的關(guān)系可知弧所對的圓心角是一個(gè)直角，然后利用弧長公式計(jì)算
解答：解：（1）當(dāng)射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°或120°時(shí)與⊙O相切（1分）
理由：當(dāng)BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到BA′的位置，則∠A′BO=30°
過O作OG⊥BA′垂足為G
∴OG=OB=2（3分）
∴BA′是⊙O的切線（4分）
同理，當(dāng)BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120度到BA″的位置時(shí)
BA″也是⊙O的切線．（6分）
∵OG=OB
∴∠A′BO=30°
∴BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了60°
同理可知，當(dāng)BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到BA″的位置時(shí)，BA與⊙O相切，BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了120°；

（2）∵M(jìn)N=，OM=ON=2
∴MN²=OM²+ON²（7分）
∴∠MON=90°（8分）
∴的長為=π．
點(diǎn)評：本題綜合考查了切線的判定和弧長公式的綜合運(yùn)用．