Question

（2012•沈河區(qū)模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是

BC

的中點(diǎn)，DE為直徑，EM⊥AB于M，EN⊥AC于N．
（1）求證：EM=EN；
（2）已知：AB=5cm，AC=3cm，求AN的長；
（3）在（2）的條件下，若DE平分AB，求sin∠DEM的值．

Answer 1

分析：（1）連BE、EC、AE，根據(jù)D是

BC

的中點(diǎn)，DE為直徑，可得出點(diǎn)E是

BEC

的中點(diǎn)，所以

BE

=

CE

，再由四邊形AEBC是圓內(nèi)接四邊形可得出∠EAN=∠CBE=∠BAE，根據(jù)AAS定理可知△AEM≌△AEN，故可得出結(jié)論；
（2））根據(jù)（1）中△AEM≌△AEN，得出EM=EN，AN=AM，故

BE

=

CE

，BE=CE，再由HL定力得出Rt△BME≌Rt△CNE，故BM=CN，即AB-AM=AB-AN=AC+AN，AN=

AB-AC

2

，由此即可得出結(jié)論；
（3））根據(jù)DE是直徑可知當(dāng)DE平分AB時(shí)，AB也是直徑，故∠ACB=90°，設(shè)DE、BC交于點(diǎn)G，根據(jù)AAS定理得出△BOG≌△EOM，故∠ABC=∠DEM，sin∠DEM=sin∠ABC=

AC

AB

，由此即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：連BE、EC、AE，
∵D是

BC

的中點(diǎn)，DE為直徑，
∴點(diǎn)E是

BEC

的中點(diǎn)，
∴

BE

=

CE

，
∵四邊形AEBC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠EAN=∠CBE=∠BAE，
∵EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，
∴∠AME=∠ANE=90°，
在△AEM與△AEN中，

∠EAN=∠BAE ∠AME=∠ANE AE=AE

，
∴△AEM≌△AEN（AAS），
∴EM=EN；

（2）∵由（1）知△AEM≌△AEN，
∴EM=EN，AN=AM，
∵

BE

=

CE

，
∴BE=CE，
在Rt△BME與Rt△CNE中，

BE=CE EM=EN

，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL），
∴BM=CN，即AB-AM=AB-AN=AC+AN，
∴AN=

AB-AC

2

=

5-3

2

=1cm；

（3）∵DE是直徑，
∴當(dāng)DE平分AB時(shí)，AB也是直徑，
∴∠ACB=90°，
設(shè)DE、BC交于點(diǎn)G，
在△BOG與△EOM中，

∠OGB=∠OME ∠BOG=∠EOM OE=OB

，
∴△BOG≌△EOM（AAS），
∴∠ABC=∠DEM，
∴sin∠DEM=sin∠ABC=

AC

AB

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，難度較大．