Question

如圖，點C是⊙O上一動點，弦AB=6，∠ACB=120°．△ABC內(nèi)切圓半徑r的最大值為

 

．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：當(dāng)C點運動到離AB的距離最大時，△ABC內(nèi)切圓半徑r的最大，即點C為弧AB的中點，連結(jié)OC交AB于D點，⊙M為△ABC的內(nèi)切圓，作ME⊥AC于E點，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥AB，AD=BD=

1

2

AB=6，AC=BC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)心的定義得到點M在CD上，則ME和MD都為⊙M的半徑；且∠A=30°，∠ACD=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CD=

3

3

AD=

3

，CE=

3

3

EM=

3

3

r，CM=2CE=

2 3

3

r，然后利用CM+DM=CD得到

2 3

3

r+r=

3

，再解關(guān)于r的方程即可．

解答：解：當(dāng)點C為弧AB的中點時，△ABC內(nèi)切圓半徑r的最大，如圖，連結(jié)OC交AB于D點，⊙M為△ABC的內(nèi)切圓，作ME⊥AC于E點，
∵點C為弧AB的中點，
∴OC⊥AB，AD=BD=

1

2

AB=6，AC=BC，
∴點M在CD上，
∴ME和MD都為⊙M的半徑，
設(shè)ME=MD=r，
∵∠ACB=120゜，
∴∠A=30°，∠ACD=60°，
在Rt△ACD中，CD=

3

3

AD=

3

，
在Rt△CEM中，∠ECM=60°，∠CME=30°，
∴CE=

3

3

EM=

3

3

r，
∴CM=2CE=

2 3

3

r，
∵CM+DM=CD，
∴

2 3

3

r+r=

3

，
∴r=6-3

3

，
故答案為：6-3

3

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了垂徑定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．