Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與 軸交于A（，0），B（2，0），且與軸交于點C.


（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）點P是x軸下方的拋物線上一動點， 連接PO，PC，
并把△POC沿CO翻折，得到四邊形，求出使四邊形為菱形的點P的坐標；
(3) 在此拋物線上是否存在點Q，使得以A，C，B，Q四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在, 求出Q點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為，△ABC是直角三角形
（2）P點的坐標為（,） 或（,）
（3）存在，滿足題目條件的點Q為(，)或(-，9)

試題分析：(1) 根據題意，將A（，0），B（2，0）代入中，解得
拋物線的解析式為      
當=0時，. ∴點C的坐標為（-1，0）.
∴在△AOC中，AC===。
在△BOC中，BC===。 
AB=OA+OB=+2=，∵AC ²+BC ²=+5=="AB" ²，
∴△ABC是直角三角形。              
(2) 設P點坐標為（x，），交CO于E
∵四邊形POPC是菱形，∴PC＝PO．
連結 則PE⊥CO于E，∴OE=EC= ∴=．
∴=   解得=，=
∴P點的坐標為（,） 或（,）
（3）存在。由(1)知，AC^BC，設Q點坐標為（，）
①若以BC為底邊，則BC//AQ，∴∠ABC=∠QAB  如圖① 
過點Q作QE⊥x軸于點E，則有△QAE∽△ABC  ∴
∴      解得₁=   ₂= -(舍去)。
當=時，y= ，∴點Q(，)。   
k若以AC為底邊，則BQ//AC，∴∠CAB=∠QBA
過點Q作QF⊥x軸于點F，則有△QBF∽△BAC  ∴
∴     解得₁=   ₂=" 2" (舍去)。
當=時，y=9，∴點Q(，9)。   
綜上所述，滿足題目條件的點Q為(，)或(-，9)。
點評：本題考查拋物線，勾股定理逆定理，相似三角形，解答本題需要考生掌握待定系數法，會用待定系數法求拋物線的解析式，熟悉勾股定理逆定理，會用其來判定一個三角形是否是直角三角形，掌握相似三角形的方法，會證明兩個三角形相似