Question

（2013•南通）如圖，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線y=

1

8

x2相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C，設(shè)△OCD的面積為S，且kS+32=0．
（1）求b的值；
（2）求證：點(diǎn)（y₁，y₂）在反比例函數(shù)y=

64

x

的圖象上；
（3）求證：x₁•OB+y₂•OA=0．

Answer 1

分析：（1）先求出直線y=kx+b與x軸正半軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)及與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到△OCD的面積S=-

b2

2k

，再根據(jù)kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；
（2）先由y=kx+8，得x=

y-8

k

，再將x=

y-8

k

代入y=

1

8

x²，整理得y²-（16+8k²）y+64=0，然后由已知條件直線y=kx+8與拋物線y=

1

8

x2相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，知y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的兩個(gè)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)₁•y₂=64，即點(diǎn)（y₁，y₂）在反比例函數(shù)y=

64

x

的圖象上；
（3）先由勾股定理，得出OA²=

x

2 1

+

y

2 1

，OB²=

x

2 2

+

y

2 2

，AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，由（2）得y₁•y₂=64，又易得x₁•x₂=-64，則OA²+OB²=AB²，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△AEO∽△OFB，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到

OA

BO

=

OE

BF

，即可證明x₁•OB+y₂•OA=0．

解答：（1）解：∵直線y=kx+b（b＞0）與x軸正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C，
∴令x=0，得y=b；令y=0，x=-

b

k

，
∴△OCD的面積S=

1

2

（-

b

k

）•b=-

b2

2k

．
∵kS+32=0，
∴k（-

b2

2k

）+32=0，
解得b=±8，
∵b＞0，
∴b=8；

（2）證明：由（1）知，直線的解析式為y=kx+8，即x=

y-8

k

，
將x=

y-8

k

代入y=

1

8

x²，得y=

1

8

（

y-8

k

）²，
整理，得y²-（16+8k²）y+64=0．
∵直線y=kx+8與拋物線y=

1

8

x2相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
∴y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的兩個(gè)根，
∴y₁•y₂=64，
∴點(diǎn)（y₁，y₂）在反比例函數(shù)y=

64

x

的圖象上；

（3）證明：由勾股定理，得
OA²=

x

2 1

+

y

2 1

，OB²=

x

2 2

+

y

2 2

，AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
由（2）得y₁•y₂=64，
同理，將y=kx+8代入y=

1

8

x²，
得kx+8=

1

8

x²，即x²-8kx-64=0，
∴x₁•x₂=-64，
∴AB²=

x

2 1

+

x

2 2

+

y

2 1

+

y

2 2

-2x₁•x₂-2y₁•y₂=

x

2 1

+

x

2 2

+

y

2 1

+

y

2 2

，
又∵OA²+OB²=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．
如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOF=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴

OA

BO

=

OE

BF

，
∵OE=-x₁，BF=y₂，
∴

OA

BO

=

-x1

y2

，
∴x₁•OB+y₂•OA=0．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．求出△OCD的面積S是解第（1）問的關(guān)鍵；根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，得到y(tǒng)₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的兩個(gè)根，進(jìn)而得出y₁•y₂=64是解第（2）問的關(guān)鍵；根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）問的關(guān)鍵．