Question

如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長(zhǎng)為AC＝1，BC＝2．

（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)X，與邊CB相切于點(diǎn)Y．請(qǐng)你在圖2中作出并標(biāo)明⊙O的圓心O；（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）P是這個(gè)Rt△ABC上和其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn),以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設(shè)⊙P的面積為s，你認(rèn)為能否確定s的最大值？若能，請(qǐng)你求出s的最大值;若不能,請(qǐng)你說明不能確定s的最大值的理由．

 

Answer 1

解：(1)共2分.（標(biāo)出了圓心，沒有作圖痕跡的評(píng)1分）看見垂足為Y（X）的一 條 垂 線 (或 者∠ABC的平分線)即評(píng)1分，

(2)①當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊 AB和BC相切時(shí)，由角平分線的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)P是∠ABC的平分線BM上的點(diǎn).

如圖1，在∠ABC的平分線BM上任意確定點(diǎn)P₁  (不為∠ABC的頂點(diǎn))，

∵ OX ＝BOsin∠ABM, P₁Z＝BP₁sin∠ABM．

當(dāng) BP₁＞BO 時(shí) ，P₁Z＞OX,即P與B的距離越大，⊙P的面積越大．

這時(shí)，BM與AC的交點(diǎn)P是符合題意的、BP長(zhǎng)度最大的點(diǎn). 

（3分.此處沒有證明和結(jié)論不影響后續(xù)評(píng)分）

如圖2，∵∠BPA＞90°，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，則E在邊AB上.

∴以P為圓心、PC為半徑作圓，則⊙P與邊CB相切于C，與邊AB相切于E，

即這時(shí)的⊙P是符合題意的圓.（4分.此處沒有證明和結(jié)論不影響后續(xù)評(píng)分）

這時(shí)⊙P的面積就是S的最大值.

∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽R(shí)t△APE，  （5分）

∴.

∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝.

設(shè)PC＝x，則PA＝AC－PC＝1－x,  PC＝PE，

∴， ∴x＝ ．  （6分）

②如圖3，同理可得：當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí)，設(shè)PC＝y(tǒng)，則 ，

∴y= .   （7分）

③如圖4，同理可得：當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時(shí)，

設(shè)PF＝z，則， ∴z=.     （8分）

由①，②，③可知：∵  ＞2，∴ ＋2＞＋1＞3，

∵當(dāng)分子、分母都為正數(shù)時(shí)，若分子相同，則分母越小，這個(gè)分?jǐn)?shù)越大，

(或者:∵x= =2-4,y= = 5,

∴y-x=>0,∴y>x. ∵z-y=>0)

∴2，  （9分，沒有過程直接得出酌情扣1分）

∴ z＞y＞x.  ∴⊙P的面積S的最大值為.    （10分）

解析:略