Question

已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1．

（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖，當(dāng)m=2時(shí)，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x或y=x2+2x；（2）C（0，3）、D（2，-1）；（3）P（，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），直接代入求出m的值即可；

（2）根據(jù)m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及圖象與y軸交點(diǎn)即可；

（3）根據(jù)當(dāng)P、C、D共線時(shí)PC+PD最短，利用平行線分線段成比例定理得出PO的長(zhǎng)即可得出答案．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），

∴代入二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1，得出：m2-1=0，

解得：m=±1，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x或y=x2+2x；

（2）∵m=2，

∴二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1得：y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴拋物線的頂點(diǎn)為：D（2，-1），

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），

∴C（0，3）、D（2，-1）；

（3）當(dāng)P、C、D共線時(shí)PC+PD最短，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，

∵PO∥DE，

∴，

∴，

解得：PO=，

∴PC+PD最短時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（，0）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．