Question

已知關于x的一元四次方程x⁴+px²+qx+r=0有三個相等的實根和另一個與之不同的實根，則下列三個命題中真命題有個
①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：設三個相等的根為m，另一個與之不同的根為n，則（x-m）³（x-n）=0，展開得：x⁴-（3m+n）x³+（3m²+2m+mn）x²-（m³+3m²n）x+m³n=0，根據對應項系數相等即可得出答案．
解答：設三個相等的根為m，另一個與之不同的根為n，則（x-m）³（x-n）=0，
展開得：x⁴-（3m+n）x³+（3m²+2m+mn）x²-（m³+3m²n）x+m³n=0，
∴根據對應項系數相等：3m+n=0，3m²+2m+mn=p，-（m³+3m²n）=q，m³n=r，
把n=-3m代入得：p=2m，q=8m³，r=-3m⁴，
故當m＜0時，p＜0，q＜0，r＜0，
當m＞0時，p＞0，q＞0，r＜0，
故p+r=q可能成立，q+r=p可能成立．
故選C．
點評：本題考查了高次方程，難度較大，關鍵是設出方程的根，根據對應項系數相等求出p，q，r的關系．