Question

如圖所示，有一座山，大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑是4千米，山高4

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千米，在山坡SA的中點(diǎn)C有一聯(lián)絡(luò)站，要從山腳A修一盤山公路，繞山坡一周將物資運(yùn)往SA的中點(diǎn)C，這條公路的最短路程是多少

 

．

Answer 1

分析：公路的最短路程為圓錐展開圖中點(diǎn)A到C′的距離．可由勾股定理求得母線SB，由底面周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)求得扇形的圓心角的度數(shù)為90度，再由勾股定理求得AC′的長(zhǎng)．

解答：解：如圖，將圓錐沿SA展開得到扇形ASA′，則這條公路的最短路程是AC′．
在Rt△OBS中可得SB=16．（2分）
∴SA=16，SC′=8，弧長(zhǎng)AA′為8π．
設(shè)圓心角∠ASA′為n°，
則 8π=

nπ×16

180

，
n=90，（5分）
∴∠ASA′為90°．
在Rt△ASC′中，AC′=

AS2+SC′2

=8

5

（千米）．（7分）
故答案為8

5

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，利用了勾股定理，圓的周長(zhǎng)公式，弧長(zhǎng)公式求解．