Question

如圖，在△ABC中，AB=10，BC=21，sinB=

4

5

，點(diǎn)D是BA延長線上一點(diǎn)，⊙O與△DBC的三邊BD、BC、CD分別相切于點(diǎn)E、F、G，且點(diǎn)E在線段AD上．
（1）求△ABC的內(nèi)切圓⊙O_l半徑r；
（2）設(shè)⊙O的半徑為x，CF的長為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）△DBC的面積值能否是周長值的兩倍？如果能夠，請求出BE的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可作AH⊥BC于H，由三角形的面積入手，即可求解半徑的長；
（2）要找y與x之間的函數(shù)解析式，可由△O₁BI∽△OBF得出對應(yīng)邊成比例，而對于x的取值范圍，則應(yīng)保證其小于圓的半徑；
（3）可先假設(shè)題中結(jié)論成立，通過面積的關(guān)系代入計(jì)算，得出x的值不滿足題意，即得出結(jié)論不成立．

解答：解：（1）作AH⊥BC于H，則AH=8，BH=6，CH=15，AC=17，
由S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

(AB+BC+AC)r，
即

1

2

×21×8=

1

2

(10+21+17)r，
解得r=

7

2

．

（2）連接OB、OF、O₁I，（I為⊙O_l與BC的切點(diǎn)），
BI=

1

2

(AB+BC-AC)=7，BF=21-y，
由△O₁BI∽△OBF得

O 1I

BI

=

OF

BF

，

7 2

7

=

x

21-y

，
∴y與x之間的函數(shù)解析式為y=-2x+21．
當(dāng)BD∥CD時(shí)，兩平行線之間距離為BC×sinB=

84

5

，此時(shí)⊙O的半徑為

42

5

，BF=21-y=2x=BE≥BA，x≥5，
∴函數(shù)自變量x的取值范圍為5≤x＜

42

5

．

（3）假設(shè)能夠，則S_△DBC=

1

2

(BD+BC+CD)x，S_△DBC=

1

2

•

1

2

S△DBC•x，x=4．
這不符合題意，
所以△DBC的面積值不可能是周長值的兩倍．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角形的面積計(jì)算和圓形切線的性質(zhì)，圓形與三角形結(jié)合，題目有一定的難度，解題時(shí)應(yīng)多思考．