Question

（2002•南京）已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于B，延長(zhǎng)BO₁、CA交于點(diǎn)P、PB與⊙O₁交于點(diǎn)D．
（1）求證：AC是⊙O₁的切線；
（2）連接AD、O₁C，求證：AD∥O₁C；
（3）如果PD=1，⊙O₁的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）證AC是圓O₁的切線，可連接O₁A然后證O₁A⊥PC即可，可通過(guò)∠PAO₁是圓O₂的內(nèi)接四邊形的外角來(lái)求解．
（2）證AD∥O₁C，就是證∠PAD=∠O₁CA，可通過(guò)與兩角相等的中間角來(lái)求解；連接BA，那么∠O₁BA就是與兩角相等的中間角．（主要應(yīng)用弦切角和圓周角定理來(lái)求解）．
（3）由于BC，AC同與圓O₁相切，因此根據(jù)切線長(zhǎng)定理AC=BC，那么求BC也就是求AC的長(zhǎng)，有了PD和⊙O₁的半徑即O₁D，O₁B的值，那么可根據(jù)切割線定理求出PA，由（2）得出的平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于PA，PC，PD，PO的比例關(guān)系，而PD，DQ₁，PA的值都已知，因此可求出AC的長(zhǎng)，也就求出了BC的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：連接O₁A；
∵BC是⊙O₁的切線，
∴∠O₁BC=90°．
∵∠O₁AP是圓O₂的內(nèi)接四邊形的外角，
∴∠PAO₁=∠O₁BC=90°，
∴Q₁A⊥AC，
則AC是⊙O₁的切線．

（2）證明：連接AB，
∵PC切⊙O₁于點(diǎn)A，
∴∠PAD=∠ABD．
∵∠ACO₁=∠ABO₁，
∴∠PAD=∠ACO₁，
∴AD∥O₁C．

（3）解：∵PC是⊙O₁的切線，PB是⊙O₁的割線，
∴PA²=PD•PB．
∵PD=1，PB=5，
∴PA=，
∵PC是⊙O₁的切線．
又∵AD∥O₁C．
∴=．
∴=．
∴AC=2．
∵AC，BC都是⊙O₁的切線，
∴BC=AC=2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定，切線長(zhǎng)和切割線定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．