如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,點P在線段AB上運動,設(shè)AP=x,現(xiàn)將紙片折疊,使點D與點P重合,得折痕EF(點E、F為折痕與矩形邊的交點),再將紙片還原.
(1)當x=0時,折痕EF的長為______;當點E與點A重合時,折痕EF的長為______
【答案】
分析:(1)當x=0時,點A與點P重合,則折痕EF的長等于矩形ABCD中的AB,當點E與點A重合時,折痕是一個直角的角平分線,可求EF=
;
(2)由題意可知,EF垂直平分線段DP,要想使四邊形EPFD為菱形,則EF也應(yīng)被DP平分,所以點E必須要在線段AB上,點F必須在線段DC上,即可確定x的取值范圍.再利用勾股定理確定菱形的邊長.
(3)構(gòu)造直角三角形,利用相似三角形的對應(yīng)線段成比例確定y的值,再利用二次函數(shù)的增減性確定y的最大值.
解答:解:(1)當x=0時,折痕EF=AB=3,當點E與點A重合時,折痕EF=
=
.
(2)1≤x≤3.
當x=2時,如圖,連接PE、PF.
∵EF為折痕,
∴DE=PE,
令PE為m,則AE=2-m,DE=m,
在Rt△ADE中,AD
2+AE
2=DE
2∴1+(2-m)
2=m
2,解得m=
;
此時菱形邊長為
.
(3)如圖2,過E作EH⊥BC;
∵△EFH∽△DPA,
∴
,
∴FH=3x;
∴y=EF
2=EH
2+FH
2=9+9x
2;
當F與點C重合時,如圖3,連接PF;
∵PF=DF=3,
∴PB=
,
∴0≤x≤3-2
;
∵函數(shù)y=9+9x
2的值在y軸的右側(cè)隨x的增大而增大,
∴當x=3-2
時,y有最大值,
此時∠EPF=90°,△EAP∽△PBF.
綜上所述,當y取最大值時△EAP∽△PBF,x=3-2
.
點評:此題是一道綜合性較強的題目,主要考查學(xué)生的圖感,利用折疊過程中的等量關(guān)系尋找解題途徑;特別是最后一問中涉及到的知識點比較多,需要同學(xué)們利用相似三角形的性質(zhì)確定函數(shù)關(guān)系式后再根據(jù)自變量的取值范圍來確定二次函數(shù)的最值問題.